Fragen über Fragen / Harmonische Reihe

[Benjamin Poddig]

Die Fourierkoeffizienten einer sägezahnförmigen periodischen Schwingung bilden eine harmonische Reihe.
Diese Fourierkoeffizienten sind die Amplitudenwerte oder die Intensitäten der einzelnen Oberwellen inkl. Gleichanteil(!) (="Oberwelle" mit Frequenz 0) und bilden eine Zahlenfolge => diskretes Linienspektrum.

 

[Benjamin Poddig]

Zum tieferen Verständnis der Spektralfunktion sei erwähnt, dass ein Signal sowohl im Zeit- als auch Frequenzbereich vollkommen gleichwertig dargestellt werden kann. Wobei jeder der Bereiche spezielle Vorzüge bietet.
Diese Bereiche korrespondieren miteinander. Die Fouriertransformation ist sogar wundervoll symmetrisch:
Die Fouriertransformierte einer Zeitfunktion ist eine Spektralfunktion. Dessen Fouriertransformation hat wieder die Form der ursprünglichen Zeitfunktion.
Bei einmaligen kontinuierlichen (nicht abgetasteten) Vorgängen, also nicht-periodischen analogen Signalformen, bspw. einem einzelnen Puls, gelangt man durch Fouriertransformation zu einer kontinuierlichen Spektralfunktion, dessen Breite ein Frequenzband beschreibt.
Ein abgetastetes, also zeit-diskretisiertes Signal (= Zahlenfolge) besitzt eine periodische Spektralfunktion (= Schwingung), also eine unendliche Wiederholung des ursrünglichen Frequenzbandes. Dessen Periodizität ist abhängig von der Abtastrate. Ist das Reziproke der Abtastrate, also die Abtastfrequenz niedriger als das Doppelte der höchsten enthaltenen Frequenz (Nyquist-Frequenz) des ursprünglichen Signals, überlappen sich diese oben angesprochenen periodischen "Bänder" und es entsteht Aliasing.
Treiben wir es umgekehrt:
Nehmen wir eine periodische Wellenform (= Schwingung) an, so gelangen wir durch Fourieranalyse zu einem diskreten Linienspektrum (= Zahlenfolge), also zu den oben angesprochenen Fourierkoeffizienten.

Normalerweise geht es umgekehrt, wie oben schon beschrieben wurde. Man leitet erst die Fourieranalyse her, und lässt in den Definitionsgleichungen formal die Periode gegen Unendlich gehen und erhält die Definitionsgleichungen der Fouriertransformation. So wird in der Zeit aus einer Periode ein einmaliger Vorgang und in der Frequenz aus einem diskreten Linienspektrum (wiederum eine Periode von Linien/ Impulsen) ein kontinuierlicher Spektralverlauf.

Das kann man wunderbar anhand von Bildern und Rechenbeispielen zeigen.

 

[Benjamin Poddig]

Nun was soll das mit dem Linienspektrum. Dieses Linienspektrum zeigt genau die Intensitäten der einzelnen sinusförmigen Anteile.
Fourierreihe:
Das Resultat der Fourieranalyse ist eine FourierReihe. Also genau so ein mathematisches Mittel Funktionen anzunähern, wie Taylor- oder andere Potenzreihen, etc.
Die Fourierreihe baut darauf auf, dass periodische Vorgänge (insbesondere solche mit Sprungstellen) aus einer Überlagerung (= Summe) von unendlich vielen sinusförmigen (= zeitharmonischen) Anteilen bestehen.
Die Frequenzen dieser Anteile (= Oberwellen) sind ganzzahlig Vielfache der tiefsten enthaltenen Frequenz (= Grundfrequenz). Die Frequenzen der Anteile besitzen alle ein harmonisches Verhältnis zur Grundwelle.
Natürlich können Signale Anteile beinhalten, die nicht harmonisch zur Grundfrequenz sind. Diese sind durch Fourieranalyse jedoch nicht zu identifizieren.

 

[Benjamin Poddig]

Btw.: Wenn du die Übertragungsfunktion (Fouriertransformierte der Impulsantwort) eines Systems hast und diese mit der Spektralfunktion eines Signals multipilizierst, und wieder invers Fouriertransformierst, erhälst du das gefilterte Signal als Systemantwort.

Das selbe Resultat erhälst du durch Faltung des Signals mit der Impulsantwort.

Korrespondenz:
Multiplikation im Zeitbereich = Faltung im Frequenzbereich...

 

[Benjamin Poddig]

@psicolor: Erwähnenswert ist auch, dass die Fourierreihe mehrere gleichwertige Darstellungen besitzt.
1. Darstellung als unendliche Reihe von komplexen Zeigern (wie in deiner Rechnung)
ist eigentlich unüblich in diesem Kontext, da die komplexe Darstellung in einem zweiseitigen Spektrum (also negativen und positiven Frequenzen) resultiert
2. Darstellung als unendliche Reihe von Cosinus- und Sinusfunktionen
erlaubt eine Zerlegung in gerade und ungerade Anteile, was die Rechnung sehr vereinfachen kann, wenn man Symmetrien finden kann.
(Alle 4 Grundwellenformen besitzen irgendeine Symmetrie)
3. Darstellung als unendliche Reihe phasenverschobener Sinusfunktionen (wie in deiner Rechnung)
folgt aus 1. mit Hilfe der Eulerschen Identität und folgt aus 2. aus der Überlagerung der geraden und ungeraden Anteile
(eine Cosinusfunktion überlagert mit einer gleichfrequenten Sinusfunktion ergibt eine phasenverschobene sinusförmige Funktion derselben Frequenz)
Ein (analoges) Spektroskop verwendet diese Darstellung (des Linienspektrums) und kann auch nur diese Darstellung erfassen. Jedoch kann er die Phasenverschiebung der einzelnen Anteile nicht anzeigen, nur die Beträge.
Sowas (einseitiges reellwertiges Linienspektrum) hat eigentlich jeder schon mal gesehen.

 

[ps4074iclr]

Die Fouriertransformation ist sogar wundervoll symmetrisch: Die Fouriertransformierte einer Zeitfunktion ist eine Spektralfunktion. Dessen Fouriertransformation hat wieder die Form der ursprünglichen Zeitfunktion.

Zumindest beinahe, wenn da nicht ein Faktor 2 Pi dazukäme....

 

[Benjamin Poddig]

Die Fouriertransformation ist sogar wundervoll symmetrisch: Die Fouriertransformierte einer Zeitfunktion ist eine Spektralfunktion. Dessen Fouriertransformation hat wieder die Form der ursprünglichen Zeitfunktion.

Zumindest beinahe, wenn da nicht ein Faktor 2 Pi dazukäme....

Nein, ohne Beachtung der Achsenspiegelung sogar ziemlich genau, wenn man nicht mit der Kreisfrequenz rechnet.

 

[ps4074iclr]

Wie meinen?

Nach meiner Herleitung geht die Trafo in den Frequenzraum so:
f(s) = 1/(2 pi) * < exp(-ist) | f(t) >

und die Rücktrafo in den Zeitraum:
f(t) = < exp(its) | f(s) >

Für mich sind das zwei unterschiedliche paar Stiefel.

 

[Benjamin Poddig]

Der Faktor ist lediglich 2pi und der zeitharmonische Integralkern (exp(ist)) ist komplex konjugiert. Wobei s hier scheinbar die Kreisfrequenz w (sprich: omega) = (2 pi)*f sein soll.
Es sind nicht zwei unterschiedliche Paar Stiefel. Vielmehr ist es ein Paar zusammengehöriger Stiefel.

Außerdem komme ich nach meiner Herleitung auf andere Trafos:

F-Transformation:
F{ y(t)} = Y(w) = < exp(-jwt) | y(t) >
Inverse F-Transformation:
F^-1{ Y(w) } = 1/(2 pi) * < exp(jwt) | Y(w) >


In w lautet der Vertauschungssatz:
F{ y(t) } = Y(w)
F^-1{ y(-w) } = Y(t) / (2 pi)
wobei Y(t) eine Zeitfunktion ist, die der Frequenzfunktion Y(w) entspricht.

mit w = (2 pi)* f ergibt das eine Spiegelsymmetrie im Vertauschungssatz ohne den Faktor (2 pi)
F{ y(t) } = Y(f)
F^-1{ y(-f) } = Y(t)
wobei Y(t) eine Zeitfunktion ist, die der Frequenzfunktion Y(f) entspricht.

Das ergibt auch einen Sinn, wenn man in der Definitionsgleichung w := (2 pi) * f substituiert.

 

[ps4074iclr]

Ah, danke! Toller Zufall!